はじめてAmazonに出品ですか？
一応初めてとして書きますね。（言われなくても解っている範囲かも知れませんが・・）
JANコードは取得をしていますね、それをネットで検索できるようなネット上の登録が有りますので登録をしてください。
Amazonでそれをチェックしているようです。

ブランドについてはプライベートブランドを設定し（概ね屋号が良い訳ですが・・・）Amazonに申請をする訳ですね。
出来る事ならば商標の申請もしてブランド名と出願の日時もどこかに記載すると通りが良いかも知れませんね。
ブランド名の表示にステッカーは不可となってますね。
工具本体の場合は本来ならばレーザー刻印が良いんでしょうが少量の場合は高額になってしまいますね。
不滅スタンプと言うのが有りますのでそれで印刷？と言う条件をクリアーしているように思われます。（ゴム印とマジックインクのような感じです）
工具にタグを付けると言う事も出来るのは出来ますかね。
鎖又はワイヤーで取り付ける事が出来ますね。
プライベートブランドとは言えど他の商品と被るような名前は弾かれる可能性が有ります。（同じ分類内の場合は商標法違反となりますので申請の有無を問わずネットでの調査は必要です）

プライベートブランドは概ね2週間程度で下りてきてはいましたが、不備があると延び延びになってしまう場合が多いようです。
商品名・ブランド名・ＪＡＮコード・製造者が全部関連して食い違いがない事も重要なようです。

これは多分トビ主様のAmazonに出しているショップのアドレス（URL）のような気がします。
又は他のショップですが・・・・・・。

私の時とは条件が違いますが概ね同じような指摘をされて、慌ててJANコードのネット検索用に申請したり、Amazonにプライベートブランドの申請をしたりを、したことが有ります。